MATES: Tema 2: Successions.

Successió numèrica à llista de membres que es poden posar en correspondència amb el conjunt dels nombres naturals.

Ex:

(2,4,6,8,10,12...) à a cada nombre natural li correspon el seu doble à (a₁à2,a₂à4,a₃à6,a₄à8,a₅à10,a₆à12...) à també es pot expressar com a_n = a_n-1+2

(1,5,9,13,17...) à llevat del primer, a_n = a_n-1+4

(1,1,2,3,5,8,13,21...) à Successió de Fibonacci à cada terme s’obté sumant els dos anteriors a partir del tercer à

a_n = a_n-1 + a_n-2 à ex: a₄ = a_4-1 + a_4-2 = 3 + 2 = 5

Terme general:

Terme d’una successió que en representa qualsevol d’aquesta mateixa successió

            a_n = f(n)

n à posició de la successió de la qual en volem calcular el valor.

Les successions recurrents són les que n s’obté sumant les dues posicions anteriors à ex: successió de Fibonacci a_n = a_n-1 + a_n-2 à s’ha de donar el valor dels primers termes per poder conèixer-ne la resta.

També hi ha successions on no hi ha terme general.

Ex:

(2,4,6,8,10,12...) à a_n = a_n-1+2

(1,5,9,13,17...) à a_n = a_n-1+4

Progressions:

            -Aritmètiques

            -Geomètriques

Progressions aritmètiques:

Cadascun dels termes ( llevat del primer ) s’obté sumant a l’anterior una constant ( d ) anomenada diferència de la progressió. Seran progressions creixents si d>0, i seran progressions decreixents si d<0.

            a_n = a₁ + (n-1)d

Demostració:

n = 1 à a₁

n = 2 à a₂ = a₁ + d

n = 3 à a₃ = a₂ + d à (a₁ + d) + d à a₁ +2d

n = 4 à a₄ = a₃ + d à ((a₁ + d) + d) + d à (a₁ + 2d) + d à a₁ + 3d

a_n = a₁ + (n – 1)d

 SUMA DE TERMES D’UNA PROGRESSIÓ ARITMÈTICA:

S_n = ((a₁ + a_n)n)/2 à només necessitem saber el primer i últim terme que volem sumar i el total de termes de la successió. Demostració:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n

S_n = a_n + a_n-1 + a_n-2 + ... + a₂ + a₁

               2S_n = (a₁ + a_n)(a₂ + a_n-1)(a₃ + a_n-2)...(a_n + a₁)

           n = nombre de parelles à 2S_n = (a₁ + a_n)n à S_n = ((a₁ + a_n)n)/2

Progressions geomètriques:

Successió en la qual cada terme s’obté multiplicant el terme anterior per una constant ( r = raó ). Si aquesta és positiva, tots els termes seran positius, i si és negativa, s’alternaran un de positiu i un de negatiu.

            -Creixents en valor absolut à r <1

            -Decreixents en valor absolut à r>1

Terme general:

            a_n = a₁ · r^n-1

Demostració:

            a₂ = a₁ · r

            a₃ = a₂ · r = a₁ · r · r = a₁ · r²

            a₄ = a₃ · r = a₁ · r · r · r = a₂ · r³

            a_n = a₁ · r^n-1

PRODUCTE DE N TERMES D’UNA PROGRESSIÓ GEOMÈTRICA:

P_n = √(a₁ · a_n)ⁿ

SUMA DE N TERMES D’UNA PROGRESSIÓ GEOMÈTRICA:

            S_n = ((a₁(1-rⁿ))/(1-r)