MATES: Tema 2: Successions.
Successió numèrica à llista de membres que es poden posar en correspondència amb el conjunt
dels nombres naturals.
Ex:
(2,4,6,8,10,12...) à a cada nombre natural li correspon el seu doble à (a1à2,a2à4,a3à6,a4à8,a5à10,a6à12...) à també es pot expressar com an
= an-1+2
(1,5,9,13,17...) à llevat del primer, an = an-1+4
(1,1,2,3,5,8,13,21...)
à Successió de Fibonacci à cada
terme s’obté sumant els dos anteriors a partir del tercer à
an = an-1
+ an-2 à ex: a4
= a4-1 + a4-2 = 3 + 2 = 5
Terme general:
Terme d’una
successió que en representa qualsevol d’aquesta mateixa successió
an = f(n)
n à posició de la successió de la qual en volem calcular el valor.
Les successions
recurrents són les que n s’obté sumant les dues posicions anteriors à ex: successió de Fibonacci an = an-1 + an-2
à s’ha de donar el valor dels primers
termes per poder conèixer-ne la resta.
També hi ha
successions on no hi ha terme general.
Ex:
(2,4,6,8,10,12...) à an = an-1+2
(1,5,9,13,17...) à an = an-1+4
Progressions:
-Aritmètiques
-Geomètriques
Progressions aritmètiques:
Cadascun dels
termes ( llevat del primer ) s’obté sumant a l’anterior una constant ( d )
anomenada diferència de la progressió. Seran progressions creixents si d>0, i seran progressions decreixents si d<0.
an = a1 +
(n-1)d
Demostració:
n = 1 à a1
n = 2 à a2 = a1 + d
n = 3 à a3 = a2 + d à (a1 + d) + d à a1
+2d
n = 4 à a4 = a3 + d à ((a1 + d) + d) + d à (a1
+ 2d) + d à a1 + 3d
an = a1
+ (n – 1)d
SUMA DE TERMES
D’UNA PROGRESSIÓ ARITMÈTICA:
Sn
= ((a1 + an)n)/2 à només
necessitem saber el primer i últim terme que volem sumar i el total de termes
de la successió. Demostració:
Sn
= a1 + a2 + a3 + ... + an
Sn = an + an-1
+ an-2 + ... + a2 + a1
2Sn = (a1 + an)(a2
+ an-1)(a3 + an-2)...(an + a1)
n
= nombre de parelles à 2Sn
= (a1 + an)n à Sn
= ((a1 + an)n)/2
Progressions
geomètriques:
Successió en la
qual cada terme s’obté multiplicant el terme anterior per una constant ( r =
raó ). Si aquesta és positiva, tots els termes seran positius, i si és
negativa, s’alternaran un de positiu i un de negatiu.
-Creixents en valor absolut à r <1
-Decreixents en valor absolut à r>1
Terme general:
an
= a1 · rn-1
Demostració:
a2 = a1 · r
a3 = a2 · r =
a1 · r · r = a1 · r2
a4 = a3 · r =
a1 · r · r · r = a2 · r3
an = a1 · rn-1
PRODUCTE DE N TERMES
D’UNA PROGRESSIÓ GEOMÈTRICA:
Pn
= √(a1 · an)n
SUMA DE N TERMES
D’UNA PROGRESSIÓ GEOMÈTRICA:
Sn = ((a1(1-rn))/(1-r)
